Defekte in niedrigdimensionalen TQFT

In der modernen Physik ist die Quantenfeldtheorie (QFT) wohl einer der am weitesten entwickelten Versuche, die Dynamik der Natur zu beschreiben. Ihr Kernkonzept ist, dass die verschiedenen Arten fundamentaler Teilchen tatsächlich durch Felder repräsentiert werden. Zum Beispiel es gibt ein Elektronenfeld, ein Quarkfeld usw., die jeden Punkt im Universum durchdringen. Einzelne Teilchen werden durch die Feldschwingungen kodiert. Ein Schwingungsmuster der Wellen im Elektronenfeld kann beispielsweise den Zustand eines einzelnen Elektrons mit einer bestimmten Geschwindigkeit repräsentieren, während ein anderes Muster mehrere Elektronen kodieren kann, usw. Die Feldbeschreibung der Teilchen integriert automatisch die Gesetze der Quantenmechanik und der speziellen Relativität, während die Wechselwirkungen von der QFT abhängen – es gibt Theorien für Elektromagnetismus, Kernkräfte usw.
Die Mathematik der QFTs ist bekanntlich anspruchsvoll und erlaubt oft nur approximative Berechnungen, wobei potenzielle Inkonsistenzen bestehen. Trotzdem liefern QFTs wertvolle Informationen, obwohl ein großer konzeptioneller Nachteil darin besteht, kein formales Verständnis dafür zu haben, was eine QFT eigentlich ist. Es gibt mehrere Denkschulen, die versuchen, dieses Problem zu lösen. Eine davon, die sogenannten funktoriellen Feldtheorien, verwendet Ideen aus der Kategorientheorie – einer formalen Studie darüber, wie Konzepte in verschiedenen Bereichen der Mathematik miteinander in Beziehung stehen. Sie betrachtet eine QFT als einen Funktor – eine Art Wörterbuch zwischen zwei Mengen von Konzepten – das die Raum-Zeit-Geometrie in die algebraischen Werkzeuge umwandelt, die für Berechnungen erforderlich sind. Diese Idee funktioniert am besten, wenn die geometrische Seite dieser Definition einfach genug ist. Ein Beispiel davon sind die sogenannten topologischen Quantenfeldtheorien (TQFTs), bei denen die einzigen relevanten Eigenschaften der Raumzeit diejenigen sind, die unter Deformierungen invariant sind. In einer TQFT ist der Abstand zwischen zwei Punkten irrelevant, während die Präsenz eines Wurmlochs berücksichtigt wird.
Dieses Forschungsprojekt strebt an, das Verständnis von TQFTs durch die Anwendung funktorieller Methoden zu vertiefen. Im Fokus steht die Untersuchung der Integration von "Defekten" in das Raum-Zeit-Kontinuum von TQFTs, die als Teilchen, Strings, Branes usw. interpretiert werden können. Ein besonderes Augenmerk wird darauf gelegt, wie neue Theorien aus TQFTs entstehen können, indem ihr Raumzeit mit einem "Defekt-Schaum" gefüllt wird. Wir werden auch das Konzept zusätzlicher Dimensionen und ihre Rolle in diesen emergenten Theorien untersuchen. Interessanterweise können die in dieser Studie verwendeten Methoden über rein theoretische Überlegungen hinausgehen und beispielsweise für das Verständnis topologischer Phasen der Materie und den möglichen Bau von Quantencomputern angewandt werden.