Geometrische Variationsprobleme aus der Stringtheorie

Die Stringtheorie betrachtet die Dynamik von eindimensionalen Fäden, die sich durch einem gekrümmten Raum bewegen. In Analogie dazu, dass sich Punktteilchen auf der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten bewegen, soll die dabei überstrichene Fläche minimalen Flächeninhalt haben.
Dieses Problem ist in der Mathematik, vor allem in der Differentialgeometrie, schon lange studiert worden:
Eine Minimalfläche ist eine Fläche in einem (gekrümmten) Raum, welchen den Flächeninhalt minimiert,
ein klassisches Beispiel sind z.B. Seifenhäute, die über einen Rahmen eingespannt sind.
Zur mathematischen Formulierung dieses Problems wird die Variationsrechnung benutzt: Es wird das sogenannte Volumenfunktional betrachtet, welches jeder Fläche im Raum eine Zahl zuordnet. Mit den Methoden der geometrischen Analysis können dann Flächen gefunden werden, die den Flächeninhalt minimieren. In der Mathematik wird dies kritischer Punkt des Funktionals genannt. Ein großer mathematischer Vorteil des Volumenfunktionals ist, dass es immer positiv ist.
Die in der theoretischen Physik auftretenden Variationsprobleme sind alle in der mathematischen Sprache der Differentialgeometrie formuliert, meist jedoch wesentlich komplizierter als das Volumenfunktional.
Es gibt hier jedoch interessante Wechselwirkungen zwischen Geometrie und Physik:
So beschreibt z.B. das Thirring-Model die Wechselwirkung von vier Elementarteilchen in der Physik,
in der Differentialgeometrie wird dieselbe Gleichung verwendet, um Flächen mit konstanter Krümmung im dreidimensionalen Raum zu beschreiben. In diesem Projekt sollen die geometrischen und analytischen Eigenschaften von diversen Variationsproblemen aus der Stringtheorie untersucht werden.

Ein wesentlicher Aspekt der Untersuchungen soll die Fragestellung sein, unter welchen Bedingungen die zugehörigen Funktionale kritische Punkte besitzen und welche Eigenschaften diese haben. Anders als das Volumenfunktional sind einige der hier auftretenden Funktionale nach unten unbeschränkt. Daher wird es erforderlich sein, neuartige mathematische Methoden zu entwickeln, um die Existenz von kritischen Punkten sicherzustellen.

Im zweiten Teil des Projekts sollen die Gleichungen studiert werden, welche die Dynamik eines Superstrings
in einem gekrümmten Raum beschreiben. Formal handelt es sich bei diesen Gleichungen um ein System aus nicht-linearen Wellengleichungen. Lineare Wellengleichungen beschreiben die ungestörte Ausdehnung von Wellen, wie z.B. Schallwellen. Betrachtet man hingegen Wellengleichungen, die eine Nichtlinearität haben, so können deren Lösungen Singularitäten entwickeln: Im Falle der Schallwellen wäre dies z.B. das Auftreten von Überschall. Die Nichtlinearitäten, die in den Gleichungen für den Superstring auftreten, sind vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet beherrschbar. Daher kann man erwarten, dass diese Gleichungen
sowohl globale Lösungen besitzen, als auch Lösungen, die eine Singularität entwickeln.
Weiterhin soll erforscht werden, wie die Geometrie des umgebenden Raumes die Eigenschaften der Lösungen beeinflusst. Es wird auch hier erforderlich sein, neuartige mathematische Methoden zu entwickeln,
mit denen die Dynamik des Superstrings rigoros behandelt werden kann.